회절이란, 빛이 진행하는 과정에서 어떠한 장애물(혹은, 유한한 크기의 Aperture)을 만났을 때의 파면의 구부러짐이다. 회절에 대해 이해하기 전에, 우리는 파동의 관점에서 빛이 자유공간에서 어떻게 전파하는지를 알아야 한다.
위의 그림처럼, 임의의 파동은 여러 방향으로 진행하는 평면파들의 중첩으로 생각할 수 있다. 수학적으로는 이를 공간에 대한 푸리에 변환으로 이해할 수 있는데, 수식은 다음과 같다.
위의 수식에서 f(x,y)는 임의의 파동을 2차원 함수로 나타낸 것이고, U(x,y,z)는 z축 방향으로의 위상까지 고려하여 3차원 함수로 나타낸 것이다. kx, ky, kz는 k벡터의 각각의 축 방향으로의 성분이고 vx, vy, vz는 각각의 축 방향으로의 공간주파수 성분이다.
즉, 임의의 파동이 자유공간에서 전파할때 어떻게 변화하는지 알기 위해서는, 각 평면파들이 어떻게 변화하는지를 알고, 그것을 다시 역푸리에 변환하여 합성하면 된다.
한 방향으로 진행하는 각각의 평면파들은 자유공간에서 진행할때에 위상변화를 겪는데, 그 위상변화는 z축 방향으로의 k벡터 성분과 진행거리(d)의 곱이다. 즉, exp(1j*kz*d)의 위상변화를 겪는것이다. 이를 공간주파수로 표현하면 다음과 같다.
빛이 특정거리 d만큼 전파하는 것을 하나의 시스템이라고 한다면, 위의 위상변화는 시스템의 전달함수(Transfer Function)가 된다. 결국, 시스템의 입출력관계는 다음과 같다.
즉, 빛이 전파할 때에 출력 파동 함수는 입력함수를 푸리에 변환한 것에 시스템의 전달함수를 곱하고 다시 역푸리에 변환을 통해 구해진다는 것을 알 수 있다. 전파 거리가 길고 짧음에 따라 회절 이론에 대한 위의 수식들을 근사화 시킬 수 있는데 (Fresnel Diffraction / Fraunhofer Diffraction), 다음 포스팅에서는 그것들에 대해 알아보고 몇가지의 예시를 들어보고자 한다.
본 포스팅을 통해 두가지 정도 생각해 보면 좋겠다.
1. 시스템의 입출력 관계가 전달함수(Transfer Function)으로 표현되기 위해서는 시스템이 linear 하고, shift-invariant 해야 한다. 빛의 전파에 대한 시스템이 왜 LSI(Linear Shift-Invariant) 시스템일까?
2. 빛의 전파 시스템의 전달함수 수식에서 근호안에 있는 항이 0보다 작게 되면 어떻게 되는가?
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